Question

giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a \(\le\) b \(\le\)3\(\le\)c; c\(\ge\)b +1; a+b \(\ge\) c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=\dfrac{2ab+a+b+c\left(ab-1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

Answer 1

bài này xài karamata là đẹp nhất nè nhanh gọn lẹ mà ko bt bn học chưa

Answer 2

Ahaha :D giỡn xíu lớp 8 có khi AM-HM còn chưa học :3, bài này với bn phải xài khai triển Abel

\(Q=\frac{1}{c+1}+\frac{ab+abc-c-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}=\frac{1}{c+1}+\frac{ab-1}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )}\)

\(=\frac{1}{c+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-1=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\)

Dự đoán dấu "=" rơi khi \(a=b-1=c-2=1\) nên c/m

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-\frac{c}{c+1}\geq \frac{5}{12}\)

\(\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{a+1}-\frac{1}{2} \right )+\left ( \frac{b}{b+1}-\frac{2}{3} \right )+\left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{c+1} \right )\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a-1}{2a+2}+\frac{b-2}{3b+3}+\frac{3-c}{4c+4}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \left ( 3-c \right )\left ( \frac{1}{4c+4}-\frac{1}{3b+3} \right )+\left ( 3-c+b-2 \right )\left ( \frac{1}{3b+3}-\frac{1}{2a+2} \right )+\left ( 3-c+b-2+a-1 \right )\frac{1}{2a+2}\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left ( c-3 \right )\left ( 4c-3b+1 \right )}{12\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{\left ( b+1-c \right )\left ( 2a-3b-1 \right )}{6\left ( b+1 \right )\left ( a+1 \right )}+\frac{a+b-c}{2a+2}\geq 0\)

Hơi xấu nhỉ nhưng xong rồi đó :)