[CUỘC THI TRÍ TUỆ VICE]
Xem thêm tại: Cuộc thi Trí tuệ VICE | Facebook
*Trả lời đúng và hay sẽ được nhận 1-2GP/câu trả lời nha ^^
-----------------------------------------------------------
[Toán.C491 _ 21.3.2021]
[Toán.C492 _ 21.3.2021]
Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 3. Tìm min của A = \(\Sigma\dfrac{a}{b^2c+1}\).
[Toán.C493 _ 21.3.2021]
Cho a,b,c > 0 và ab + bc + ca = 3. Tìm min của
B = \(\dfrac{a}{2b^3+1}+\dfrac{b}{2c^3+1}+\dfrac{c}{2a^3+1}\).
[Toán.C494-498 _ 21.3.2021]
C493
$\dfrac{a}{2b^3+1}=a.(1-\dfrac{2b^3}{2b^3+1})$
Áp dụng bđt Cauchy có: $b^3+b^3+1 \geq 3.\sqrt[]{b^3.b^3.1}=3b^2$
$⇒\dfrac{2b^3}{2b^3+1} \leq \dfrac{2b^3}{3b^2}=\dfrac{2b}{3}$
$⇒\dfrac{a}{2b^3+1} \geq a.(1-\dfrac{2b}{3})$
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{2c^3+1} \geq b.(1-\dfrac{2c}{3})$
$\dfrac{c}{2a^3+1} \geq c.(1-\dfrac{2a}{3})$
Nên $B \geq a.(1-\dfrac{2b}{3})+b.(1-\dfrac{2c}{3})+c.(1-\dfrac{2a}{3})=a+b+c-\dfrac{2(ab+bc+ca)}{3}$
$ \geq \sqrt[]{3(ab+bc+ca)}-\dfrac{2.(ab+bc+ca)}{3}=1$
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=c=1$
Vậy $MinB=1$ tại $a=b=c=1$
C493
$\dfrac{a}{b^2c+1}=a.(1-\dfrac{b^2c}{b^2c+1})$
Áp dụng bđt Cauchy có: $b^2c+1 \geq 2.\sqrt[]{b^2c.1}=2b\sqrt[]c$
$⇒\dfrac{b^2c}{b^2c+1} \leq \dfrac{b^2c}{2b\sqrt[]c}=\dfrac{b\sqrt[]c}{2} leq \dfrac{b(c+1)}{4}$
$⇒\dfrac{a}{b^2c+1} \geq a.(1-\dfrac{b(c+1)}{4})$
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{c^2a+1} \geq b.(1-\dfrac{c(a+1)}{4})$
$\dfrac{c}{a^2b+1} \geq c.(1-\dfrac{a(b+1)}{4})$
Nên $A \geq a.(1-\dfrac{b(c+1)}{4})+ b.(1-\dfrac{c(a+1)}{4})+c.(1-\dfrac{a(b+1)}{4})$
$=a+b+c-\dfrac{3abc+ab+bc+ca}{4}$
$\geq a+b+c-\dfrac{3\dfrac{(a+b+c)^3}{27}+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}}{4}$
$=3-\dfrac{3+3}{4}$
$=\dfrac{3}{2}$
Dấu $=$ xảy ra $⇔a=b=c=1$
Vậy $MinA=\dfrac{3}{2}$ với $a=b=c=1$
.
_
