Cung một lúc, có hai người cùng khởi hành từ A để đi quãng đường ABC (với AB = 2BC). Người thứ nhất đi quãng đường AB với vận tốc 12 km/h, quãng đường BC với vận tốc 4 km/h. Người thứ hai đi quãng đường AB với vận tốc 4 km/h, quãng đường BC với vận tốc 12 km/h. Người nọ đến trước người kia 30 phút. Ai đến sớm hơn? Tính chiều dài quãng đường ABC?
Gọi độ dài AB là S => BC = S/2.
Thời gian mỗi người đi hết quãng đường ABC:
\(t_1=\dfrac{S}{v_1}+\dfrac{S}{2v_1'}=\dfrac{S}{12}+\dfrac{S}{8}=\dfrac{5S}{24}\\ t_2=\dfrac{S}{v_2}+\dfrac{S}{2v_2'}=\dfrac{S}{4}+\dfrac{S}{24}=\dfrac{7S}{24}\)
(v1 là vân tốc ng1 rên đoạn AB, v1' là vật tốc ng1 trên đoạn BC, ng2 cũng kí hiệu tương tự)
So sánh thấy t2 > t1 vậy người thứ nhất đến sớm hơn.
Do t2 - t1 = 0,5h
\(\Rightarrow\dfrac{7S}{24}-\dfrac{5S}{24}=0,5\\ \Rightarrow7S-5S=12\Rightarrow S=6\left(km\right)\)
Quãng đường AB dài 6km nên quãng đường BC dài 3km.
Vậy độ dài quãng đường ABC là: 6 + 3 = 9km
ta có:
đối với người 1:
thời gian người đó đi hết AB là:
\(t_1=\dfrac{AB}{v_1}=\dfrac{S}{3v_1}=\dfrac{S}{36}\)
thời gian người đó đi hết BC là:
\(t_2=\dfrac{BC}{v_2}=\dfrac{2S}{3v_2}=\dfrac{2S}{12}=\dfrac{S}{6}\)
vận tốc trung bình của người 1 là:
\(v_{tb_1}=\dfrac{S}{\dfrac{S}{36}+\dfrac{S}{6}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{6}}=\dfrac{36}{7}\) km/h
đối với người hai:
thời gian người đó đi hết AB là:
\(t_1=\dfrac{AB}{v_1}=\dfrac{S}{3v_1}=\dfrac{S}{12}\)
thời gian người đó đi hết BC là:
\(t_2=\dfrac{BC}{v_2}=\dfrac{2S}{3v_2}=\dfrac{2S}{36}=\dfrac{S}{18}\)
vận tốc trung bình của người 2 là:
\(v_{tb_2}=\dfrac{S}{t_1+t_2}=\dfrac{S}{\dfrac{S}{12}+\dfrac{S}{18}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{18}}=7,2\) km/h
ta thấy vtb2>vtb1 nên người hai đến sớm hơn người một
do người hai đến sớm hơn người 1 30' nên:
t-t'=0,5
\(\Leftrightarrow\dfrac{S}{v_{tb1}}-\dfrac{S}{v_{tb2}}=0,5\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{7S}{36}-\dfrac{S}{7,2}=0,5\)
\(\Rightarrow S=9km\)