Question

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình: \(4sin2x+\sqrt{3}.m=2\left(msinx+2\sqrt{3}.cosx\right)\) có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left(0;\dfrac{5\pi}{2}\right)\)

Answer 1

\(8sinx.cosx-4\sqrt{3}cosx=m\left(2sinx-\sqrt{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow4cosx\left(2sinx-\sqrt{3}\right)-m\left(2sinx-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4cosx-m\right)\left(2sinx-\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\cosx=\dfrac{m}{4}\end{matrix}\right.\)

\(sinx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) có 3 nghiệm \(x=\left\{\dfrac{\pi}{3};\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{7\pi}{3}\right\}\) trên khoảng đã cho

Nên pt có đúng 5 nghiệm trên khoảng cho \(cosx=\dfrac{m}{4}\) có 2 nghiệm (và khác các nghiệm nói trên)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{1}{2}\\0< \dfrac{m}{4}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\left\{1;3\right\}\)