Lời giải:
* Giá trị $m$ là số nguyên.
Thay vì đi tìm giá trị nguyên của $m\in [-10;10]$ để $2x^2-(m+1)x+3m-15\leq 0$ có nghiệm đúng với mọi $x\in [1;2]$, ta đi tìm giá trị nguyên của $m\in [-10;10]$ để $2x^2-(m+1)x+3m-15>0$ với mọi $x\in [1;2]$
Loại đi những giá trị $m$ đó thì ta còn những giá trị $m$ cần tìm ban đầu
Ta có:
$2x^2-(m+1)x+3m-15>0, \forall x\in [1;2]$
$\Leftrightarrow 2x^2-x-15-m(x-3)>0, \forall x\in [1;2]$
$\Leftrightarrow 2x^2-x-15> m(x-3), \forall x\in [1;2]$
$\Leftrightarrow \frac{2x^2-x-15}{x-3}< m, \forall x\in [1;2]$
$\Leftrightarrow 2x+5< m, \forall x\in [1;2]$
$\Leftrightarrow m> \max (2x+5), \forall x\in [1;2]$
$\Leftrightarrow m>9$
Do đó giá trị nguyên $m$ thỏa mãn điều kiện đầu của đề là $m\leq 9; m\in [-10;10]$
$\Rightarrow$ có $20$ giá trị nguyên của $m$.