Bạn tự vẽ hình nha!
Xét tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC = a ; AC= c.
Theo bài ra ta có: AM < \(\frac{b+c}{2}\)
CMTT: BD < \(\frac{a+c}{2}\) ; CE < \(\frac{a+b}{2}\)
Suy ra AM+BD+CE < a+b+c
Ta có BD + CE > \(\frac{3}{2}\) a
CMTT ta có: AM + CE > \(\frac{3}{2}\) b
AM + BD > \(\frac{3}{2}\) c
Suy ra 2 (AM+BD+CE) > \(\frac{3}{2}\) ( a+c+c)
Do đó : AM+BD+CE > \(\frac{3}{4}\) ( a+b+c )
Chúc bạn học có hiệu quả!
Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:
\(\frac{3}{4}.\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC.\)
*Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC
Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK.
Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)
=> M là trung điểm của \(BC.\)
=> \(BM=CM.\)
Xét 2 tam giác BMK và CMA có:
MK = MA (do cách vẽ)
Góc BMK = góc AMC (vì 2 góc đối đỉnh)
BM = CM (cmt)
=> Tam giác BMK = Tam giác CMA ( c - g - c )
=> BK = AC (2 cạnh tương ứng).
Xét tam giác ABK có:
AK < AB + BK (theo bất đẳng thức trong tam giác).
Vì MA = MK (do cách vẽ).
=> M là trung điểm của AK.
=> \(AM=\frac{1}{2}AK\) (tính chất trung điểm).
Hay AK = 2AM
Mà BK = AC (cmt).
=> 2AM < AB + AC (1).
Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)
2CE < AC + BC (3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:
2AM + 2BD + 2CE < AB + AC + AB + BC + AC + BC.
=> 2(AM + BD + CE) < 2AB + 2AC + 2BC
=> 2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)
=> AM + BD + CE < AB + AC + BC (4).
*Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE
Xét tam giác AGB có:
AG + GB > AB (theo bất đẳng thức trong tam giác).
Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)
=> 2/3(AM + BD) > AB
Tương tự, ta có:
2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC
=> 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC
<=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC
=> AM + BD + CE > 3/4 (AB + AC + BC) (5).
Từ (4) và (5) => \(\frac{3}{4}.\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\left(đpcm\right).\)
Vậy trong 1 tam giác tổng độ dài 3 đường trung tuyến lớn hơn 3/4 chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó.
Chúc bạn học tốt!