a/ Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là \(a,a+1\) \(\left(a\in N\right)\)
Gọi \(ƯCLN\)\(\left(a,b\right)=d\) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\a+1⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\) \(\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(a,a+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow a,a+1\) nguyên tố cùng nhau
\(\Leftrightarrow\) Hai số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau \(\left(đpcm\right)\)
b/ Gọi 2 số lẻ liên liếp là \(2k+1;2k+3\left(k\in N\right)\)
Gọi \(ƯCLN\) \(\left(2k+1;2k+3\right)=d\) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}2k+1⋮d\\2k+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2⋮d\Leftrightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{1,2\right\}\)
+) \(d=2\Leftrightarrow2k+1⋮2\Leftrightarrow1⋮2\left(loại\right)\)
\(\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\)\(\left(2k+1;2k+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\) Hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau \(\left(đpcm\right)\)
3/ Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+5;3n+7\right)\) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+15⋮d\\6n+14⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
\(\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\) \(\left(2n+5;3n+7\right)=1\)
\(\Leftrightarrow2n+5;3n+7\) nguyên tố cùng nhau