\(\sqrt[]{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt[]{a}+\sqrt[]{b}}{2}\)
Bình phương hai vế, ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt[]{ab}+b}{4}\)
Nhân chéo hai vế, ta được: \(4a+4b\ge2a+4\sqrt{ab}+2b\)
\(\Leftrightarrow2a-4\sqrt{ab}+2b\ge0\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )
=> ĐPCM
Dấu " = " xảy ra <=> a = b ( Với a,b thuộc TXĐ )
cm \(\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)
Chứng minh đẳng thức:
a) \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
b) \(\left(\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}-\dfrac{\sqrt{216}}{3}\right).\dfrac{1}{\sqrt{6}}=\dfrac{-3}{2}\)
Cho các số dương a,b,c. Cm đẳng thức \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
Chứng minh :
a) \(\dfrac{3x}{2y}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{3}{5}}-\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{3\sqrt{x}}{2}.\left(\dfrac{\sqrt{x}}{y}+\sqrt{\dfrac{3}{5x}}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\)
b)\(ab.\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\) , với a ; b > 0
c) \(\left(\dfrac{3}{a}\sqrt{\dfrac{a^3}{b}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{4}{ab}}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right):\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=3a-2b-1\) với a, b >0
d)\(\left(\sqrt{\dfrac{16a}{b}}+3\sqrt{4ab}-a\sqrt{\dfrac{36b}{a}}+2\sqrt{ab}\right):\left(\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)=2\) Với a, b >0
Mọi người giúp tớ với ạ !!!!!! Mình thật sự cần gấp vào ngày mai !!!!
Chứng minh:
\(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2\sqrt{a}-2\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{a}+2\sqrt{b}}-\dfrac{2b}{b-a}=\dfrac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\) với a,b dương và \(a\ne b\)
Rút gọn biểu thức sau:
a) A= \(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{a+\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\left(\dfrac{\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}}-\dfrac{\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}}\right)\)
b) B=\(\left(\dfrac{2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\dfrac{2\sqrt{a}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}.\dfrac{a\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right):4\sqrt{ab}\)
giúp mình với ạ, mk cần gấp lắm
1,so sánh:
\(\dfrac{15}{\sqrt{6}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{6}-2}va\dfrac{12}{3-\sqrt{6}}+\sqrt{6}\)
2.trục căn thức ở mẫu:
a. A=\(\dfrac{\sqrt{a+3}+\sqrt{a-3}}{\sqrt{a+3}-\sqrt{a-3}}\)
b.B=\(\dfrac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}\)
3, rút gọn
A=\(\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}-\dfrac{\sqrt{2}-2}{1-\sqrt{2}}\)
B=\(\dfrac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2\sqrt{ab^3}}{a\left(a+2\sqrt{b}\right)+b}}\)
C=\(\dfrac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+1\)
So sánh A và B biết :
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)
\(B=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{35}}\)
Cho a, b, c > 0. CMR :
\(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{a^2+c^2}}{b}\ge2\left(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)