Xét tg ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC= a; AC= c. Theo bài ra ta có: AM< b+c/2
CMTT: BD< a+c/2 ; CE < a+b/2
Suy ra AM+BD+CE < a+b+c
Ta có BD+CE> 3/2 a
CMTT ta có:AM+CE > 3/2 b
AM+BD> 3/2 c
Suy ra 2(AM+BD+CE) > 3/2 ( a+c+c)
Do đó : AM+BD+CE > 3/4 ( a+b+c )
Cho tam giác ABC có góc B bằng góc C. Kẻ AH vuông góc BC(H thuộc BC). D là điểm nằm giữa A và H. CM rằng:
a) BH bé hơn HC
b) BD bé hơn DC
c) Gọi F thuộc BH, E thuộc HC. CM chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC
d) Với vị trị nào của các điểm D,E,F thì chu vi tam giác DEF bằng 1/2 chu vi tam giác ABC
cho Tam giác ABC vuông tại A, biết AB=6cm, BC=10cm.Tính độ dài cạnh AC và chu vi tam giác ABC
1. Cho tam giác NMP, MN<MP, D là trung điểm của NP. Trên tia đối của tia DM lấy điểm F sao cho DF=DM. CMR:
a) góc FMP< góc MFP b) góc FMP<góc NMF
2. Cho tam giác ABC (AB=AC). Trên cạnh AC dựng tam giác đều AEC. Biết chu vi của tam giác đều là 18cm và lớn hơn chu vi của tam giác ABC 2cm. Tính cạnh đáy BC, suy ra Â< 60 độ.
3. Cho tam giác cân PMN (PM=PN). Trên hai cạnh PM và PN có 2 điểm Q và R sao cho PQ=PR. CMR: a) QM=RN b) QR//MN.
4. Cho tam giác ABC (AB=AC), lấy điểm M bất kì trên cạnh BC. Từ M kẻ 2 đường song song với 2 cạnh AB và AC, chúng cắt AC tại E và AB tại N. CMR:
a) Các tam giác BNM và EMC là tam giác cân. b) NM+ME=AB
5. Cho tam giác cân ABC. CMR: nếu đáy lớn BC lớn hơn bằng hay nhỏ hơn cạnh bên thì góc A sẽ lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn 60 độ.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, biết 
a) So sánh các cạnh của tam giác
b) Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. So sánh độ dài các đoạn BD và CD.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân ở A có chu vi bằng 16cm, cạnh đáy BC = 4cm. So sánh các góc của tam giác ABC.
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, biết 
So sánh các cạnh của tam giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC, góc A là góc tù. Trên cạnh AC lấy hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh rằng 
Bài toán 5: Cho tam giác ABC CÓ 
a) So sánh độ dài các cạnh AB và AC
b) Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho 
Chứng minh 
.
Bài toán 6: Tam giác ABC có 
Tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Chứng minh rằng điểm D nằm giữa hai điểm B và m (M là trung điểm của BC).
Bài toán 7: Tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC. Trên tia Bx lấy điểm D nằm ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng 
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân ở A, kẻ 
Trên các đoạn thẳng HD và HC, lấy các điểm D và E sao cho 
So sánh độ dài AD, AE bằng cách xét hai hình chiếu.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC có 
và 
là các góc nhọn. Gọi D là điểm bất kfi thuộc cnahj BC, gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng AD.
a) So sánh các độ dài BH và BD. Có khi nào BH bằng BD không?
b) So sánh tổng độ dài BH + CK với BC.
Bài toán 10: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho 
Gọi M là trung điểm của DE.
a) Chứng minh rằng 
b) So sánh độ dài AB, AD, AE, AC.
Bài toán 11: Cho tam giác ABC 
Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Gọi E và F là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AM. So sánh tổng 
với BC
Bài 1:Cho tam giác ABC có A=80 độ,B=40 độ.Tia phân giác của góc C cắt AB tại D.Tính số đo góc CDA;CDB.
Bài 2:Cho tam giác ABC=tam giác DEF có AB=3cm,DF= 4cm,EF=5cm.Tính chu vi của mỗi tam giác.
Bài 3:Cho tam giác ABC có AB=AC,D là trung điểm của BC(D thuộc BC).Chứng minh:
a)Tam giác ABD= tam giác ACD b)BAD=CAD c)AD vuông góc BC
LƯU Ý:NHỮNG BÀI TRÊN KO CÓ BÀI NÀO CÓ HÌNH CẢ
Cho tam giác ABC có AB<AC vẽ D là đường trung trực của BC. Gọi M là điểm bất kỳ trên đường thẳng D.hãy tìm vi trí của M để chu vi tam giác AMB nhỏ nhất.
Cho tam giác ABC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF= BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE.
a) Chứng minh AP= AQ.
b) Chứng minh 3 điểm P, A, Q thẳng hàng.
c) Chứng minh PQ// AC, CP//AB.
d) Gọi R là giao điểm của hai đường PC và QB. Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng 2 lần chu vi tam giác ABC
e) Ba đường thẳng AR, BP, CQ đồng quy.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm.Tính độ dài đoạn BC.
Bài 3: Bộ ba độ dài cho sau có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông không? Vì sao?
a) 5cm, 12cm, 9cm b) 12 cm, 16 cm, 20 cm
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE.
a) Chứng minh: ΔABD = ΔACE.
Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, DN⊥BC tại N.
a) Chứng minh ∆DBA = ∆DBN. So sánh DA và DN.
b) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng ND và BA. Chứng minh AM = NC
c) Chứng minh ∆BMC cân.
Bài 10: Cho ΔABC vuông tại A, M là trung điểm của BC
a) Cho biết BC = 10cm, AC = 6cm. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh rằng ΔMAC = ΔMBD
c) Chứng minh AB // CD.
d) Chứng minh:
Bài 11: Cho tam giác ABC có BA < BC và
a)Trên BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Chứng minh tam giác ABM đều.
b)Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Chứng minh: ΔBAD = ΔBMD.
c)Tia MD cắt tia BA tại H, chứng minh ΔDHC cân.
Bài 12 : Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm E và D sao cho AD = AE, BD cắt CE tại G. Chứng minh rằng:
a) BD = CE.
b) Tam giác GDE cân.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, G, M thẳng hàng.
d) Cho AB = 8 cm; MB = 5 cm. Tính độ dài AM?