Question

Chứng minh (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2>0 với mọi x

Answer 1

Ta có \(\left[\left(x-1\right)\left(x-4\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x-3\right)\right]+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+2\)

Đặt \(t=x^2-5x+5\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)+2\)

\(\Leftrightarrow t^2-1+2\)

\(\Leftrightarrow t^2+1\)

mà \(t^2\ge0\)

\(\Rightarrow t^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+5\right)^2+1>0\)

Vậy biểu thức trên > 0 với mọi x

Answer 2

Ta cso

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+2

<=> [ (x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)] +2

<=> (x²-5x+4)(x²-5x+6)+2

<=> (x²-5x+5-1)(x²-5x+5+1)+2

<=> (x²-5x+5)²-1+2

<=> (x²-5x+5)²+1

Ta thấy (x²-5x+5)²>=0

=> (x²-5x+5)²+1 >1>0(cmđ)