Question

Chứng minh với \(\forall n\in N\)* thì \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)^{ }}{2}\right]^2\)

Answer 1

\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)

Với \(n=1;n=2\) (*) đúng

Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành

\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)

Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có

\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Answer 2

Ta có : \(1^3+2^3+3^3+....+n^3\)

=\(\left(1+2+3+4+...+n\right)^2\)

=\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\) (đpcm)