Question

Chứng minh tam giác có 2 trung tuyến = nhau thì là tam giác cân ?

Answer 1

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)

Answer 2

Gọi \(\Delta\)ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm \(\Delta\) (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = \(\dfrac{2}{3}\).BM
GC = \(\dfrac{2}{3}\).CN
Mà BM = CN

\(\Rightarrow\) GB = GC
\(\Rightarrow\Delta\)BGC cân tại G
\(\Rightarrow\) \(\widehat{MBC}\) = \(\widehat{NCB}\)
Xét \(\Delta\) BMC và \(\Delta\) CNB : BM = CN
\(\widehat{MBC}\) = \(\widehat{NCB}\)
BC là cạnh chung
=> \(\Delta\) BMC = \(\Delta\)CNB (c - g - c)
=> \(\widehat{MCB}\) = \(\widehat{NBC}\)
hay \(\widehat{ACB}\)= \(\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\Delta\) ABC cân tại A (đpcm)

Answer 3

Gọi Δ ABC có trung tuyến BM = CN, G là trọng tâm Δ (giao điểm các trung tuyến)
Ta có :
GB = 2/3.BM
GC = 2/3.CN
Mà BM = CN => GB = GC
=> Δ BGC cân tại G
=> ∠ MBC = ∠ NCB
Xét Δ BMC và Δ CNB :
BM = CN
∠ MBC = ∠ NCB
BC là cạnh chung
=> Δ BMC = Δ CNB (c - g - c)
=> ∠ MCB = ∠ NBC
hay ∠ ACB = ∠ ABC
=> Δ ABC cân tại A (đpcm)

Answer 4

Xin lỗi nha mình vẽ hơi xấu

Gọi G là giao điểm của BD; CE ta có:

\(GE=\dfrac{1}{3}CE;GD=\dfrac{1}{3}BD\)

\(\Rightarrow GE=GD\)( Tính chất 3 đường trung tuyến)

\(GB=\dfrac{2}{3}DB;GC=\dfrac{2}{3}CE\)

\(\Rightarrow GB=GC\)( Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác)

Xét tam giác BEG và tam giác CDG ta có:

GE=GD(c/m trên)

\(\widehat{EGB}=\widehat{DGC}\)( 2 góc đối đỉnh)

GB=GC(c/m trên)

=> tam giác BEG=tam giác CDG(c.g.c)

=>EB=DC(2 cạnh tương ứng)

Mà \(EB=\dfrac{1}{2}AB;CD=\dfrac{1}{2}AC\)( C là trung điểm của AC)(Vì E là trung điểm AB)

=>EB=CD( Tính chất đường ttrung tuyến tam giác )

Ta có:

EB=EA=CD=AD(c/m trên)

=>AB=AC

=> tam giác ABC cân tại A