Ta có :
\(36^{36}-9^{10}⋮9\) vì các số hạng đều chia hết cho 9 .
Mặt khác :
\(36^{36}\) có tận cùng là 6
\(9^{10}=\left(9^2\right)^5=81^5\) có tận cùng là 1
\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) có tận cùng là 6 - 1 = 5
\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) chia hết cho 5
Mà (5 ; 9 ) = 1
\(\Rightarrow36^{36}-9^{10}\) chia hết cho 45
36^36-9^10
= (45-9)^36-9^10
= 45m+9^36-9^10
= 45m +9^10*(9^26-1)
= 45m +9^10*(81^13-1)
= 45m+9^10* 10k {do 81^13 tân cùng là 1=>( 81^13-1) chia hết cho 10}
= 45m+90n =45(m+2n) chia hết cho 45
Vì 45=9x5
=> 36\(^{36}\) -9\(^{10}\) chia hết cho 9 (1) (vì 36^36 và 9^10 đều chia hết cho 9)
36\(^{36}\) tận cùng là 6 (số tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa n (n nguyên dương) thì kết quả cũng tận cùng là 6)
9\(^{10}\)tận cùng là 1 (9 luỹ thừa m với m chẵn luôn tận cùng là 1)
=> 36\(^{36}\) -9^10 tận cùng là 5 và do đó nó chia hết cho 5 (2)
Vì 5 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2) => 36\(^{36}\) 9\(^{10}\) chia hết cho 45.