Question

Chứng minh rằng với n ε  N^*    ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

 

Answer 1

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k)  3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1  3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

                        = k³  + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 

                         = k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k   3, mặt khác 3(k² + 3k + 3)  3 nên S_k+1  3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n)  3 với mọi n ε N^{*  .}

 

Answer 2

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1  9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

                                    = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)    

Theo giả thiết quy nạp thì  Sk   9  nên 4S₁   9, mặt khác 9(5k - 2)   9, nên S_k+1  9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1)  9 với mọi n ε N^*  

 

Answer 3

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k)  3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1  3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1) 

                        = k³  + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5 

                         = k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

 hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k   3, mặt khác 3(k² + 3k + 3)  3 nên S_k+1  3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n)  3 với mọi n ε N^{*  .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1 

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁   9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1  9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

                                    = 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)    

Theo giả thiết quy nạp thì  Sk   9  nên 4S₁   9, mặt khác 9(5k - 2)   9, nên S_k+1  9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1)  9 với mọi n ε N^*  

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁  6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k³ + 11k  6

Ta phải chứng minh S_k+1  6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) =  k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11           

                                  = ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4) 

THeo giả thiết quy nạp thì  Sk  6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4)  6, do đó S_k+1  6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}

 

Answer 4

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁  6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k³ + 11k  6

Ta phải chứng minh S_k+1  6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) =  k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11           

                                  = ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4) 

THeo giả thiết quy nạp thì  Sk  6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4)  6, do đó S_k+1  6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}

 

 

Answer 5

a)Ta có:

\(n^3+3n^2+5n=n^3+n^2+2n^2+2n+3n\)

\(=\left(n^3+n\right)+\left(2n^2+2n\right)+3n\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3n\)

\(=n.\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n\)

Có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3.

Mà 3n cũng chia hết cho 3.

Do đó \(n^3+3n^2+5n\) chia hết cho 3 với mọi \(n\in N\)*