Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1

Số n⁴+4k⁴ là hợp số (k là số tự nhiên)

Answer 1

Lời giải:

$n>1\Rightarrow n\geq 2$

$n^4+4k^4=(n^2)^2+(2k^2)^2+2.n^2.2k^2-4n^2k^2$

$=(n^2+2k^2)^2-(2nk)^2=(n^2+2k^2-2nk)(n^2+2k^2+2nk)$

Ta thấy,

$n^2+2k^2-2nk=2(k-\frac{n}{2})^2+\frac{n^2}{2}\geq \frac{n^2}{2}\geq \frac{2^2}{2}=2$

$n^2+2k^2+2nk\geq n^2\geq 4$

Do đó $n^4+4k^4$ là tích của 2 số mà mỗi số đều $\geq 2$ nên $n^4+4k^4$ là hợp số.