Question

 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n mà  \(n\equiv1\) ( mod 4)  thì  
  \(\dfrac{n.\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)}{2}=P\)  luôn luôn không thể là số lập phương 
P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn gợi ý giúp đỡ với ạ, em cám ơn nhiều ạ!

Answer 1

Đặt \(n=4k+1\) thì \(P=\dfrac{\left(4k+1\right)\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)\left(4k+6\right)}{2}=8\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Dẫn đến \(Q=\left(4k+1\right)\left(2k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Lại có \(\left(2k+1,4k+1\right)=1;\left(2k+1,k+1\right)=1;\left(2k+1,2k+3\right)=1\) nên \(\left(2k+1,\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\right)=1\).

Do đó để Q là số lập phương thì \(2k+1\) và \(R=\left(4k+1\right)\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\) là số lập phương.

Mặt khác, ta có \(R=8k^3+22k^2+17k+3\) 

\(\Rightarrow8k^3+12k^2+6k+1=\left(2k+1\right)^3< R< 8k^3+24k^2+24k+8=\left(2k+2\right)^3\) nên \(R\) không thể là số lập phương.

Vậy...