Ta có: \(n^2+7n+22\)
\(=n^2+7n+10+12\)
\(=\left(n+5\right)\left(n+2\right)+12\)
Do hiệu của n+5 và n+2 là 3 nên để biểu thức \(n^2+7n+22⋮9\) thì n+5 và n+2 phải cùng chia hết 3 hoặc không cùng chia hết cho 3
-Trường hợp 1: Nếu n+5 và n+2 cùng chia hết cho 3 thì \(\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮9\)
mà \(12⋮̸9\)
nên \(\left(n+5\right)\left(n+2\right)+12⋮̸9\)
\(\Rightarrow n^2+7n+22⋮̸9\)
-Trường hợp 2: Nếu n+5 và n+2 không cùng chia hết cho 3 thì \(\left(n+5\right)\left(n+2\right)⋮̸3\)
mà \(12⋮3\)
nên \(\left(n+5\right)\left(n+2\right)+12⋮̸3\)
\(\Rightarrow n^2+7n+22⋮̸9\)
Vậy: Với \(n\in N\) thì \(n^2+7n+22⋮̸9\)