Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương, ta có:
\(S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)n}< \frac{5}{2}\)
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện: \(2x^3=9y^3=45\)và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\). Chứng minh rằng; \(\sqrt[3]{2x^2+9y^2+45z^2}=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{45}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1
Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Bài 1. Giải phương trình :
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2\)
Bài 2. Tìm tất cả các bộ 3 số nguyên không âm (x ; y; z) thoả mãn đẳng thức :
\(2012^x+2013^y=2014^z\)
Bài 3. Cho phương trình bậc hai : \(x^2+\left(m+n\right)+m+1=0\) với m và n là các số nguyên trong đó \(m\ne1\).
a) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m, luôn có 1 giá trị của n không đổi để phương trình đã cho có nghiệm x nguyên.
b) Chứng minh rằng : Khi phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên thì \(\left(m+n\right)^2+m^2\) là hợp số.
HELP MEEEEEEEEEEEEEEEE !!! PLEASE !!!
1.Cho ba số dương a+b+c=1.Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2\)
2.Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn xy+yz+zx=xyz.Chứng minh rằng:
\(\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{x^3+\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{zx}{y^2+\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)\(\ge\)\(\frac{1}{16}\)
3.Cho hai số thực dương a,b và thỏa mãn 2a +3b \(\le4\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q=\(\frac{2002}{a}+\frac{2017}{b}+2996a-5501b\)
4.Gỉai phương trình : \(\left(x^2-4\right)^3=\left(\sqrt[3]{\left(x^2+4\right)^2}+4\right)^2\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(xy+yz+xz=1\) . Chứng minh:
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}\right)^3\)
Chứng mình rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
1. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn: \(b+d\ne0\) và \(\frac{ac}{b+d}\ge2\).
Chứng minh rằng phương trình \(\left(x^2+ax+\right)\left(x^2+cx+d\right)=0\) (x là ẩn)
luôn có nghiệm.
2.\(\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}\)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính tổng:
\(S=\sqrt[x]{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+x^2\right)}}+\sqrt[y]{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{\left(1+y^2\right)}}+\sqrt[z]{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+z^2\right)}}\)
