Question

Chứng minh rằng nếu n và n²+2 là các số nguyên tố thì n³+2 cũng là số nguyên tố

Answer 1

Do n là số nguyên tố nên n là số tự nhiên.

- Xét: n = 3k + 1 \(\Rightarrow\) \(n^2\) + 2 = 9k\(^2\) + 6k + 3 \(⋮\) 3 (hợp số)

- Xét: n = 3k + 2 \(\Rightarrow\) \(n^2\) + 2 = 9k\(^2\) + 9k + 6 \(⋮\) 3 (hợp số)

- Xét: n = 3k \(\Rightarrow\) k = 1 (do n là số nguyên tố) \(\Rightarrow\) n\(^2\) + 2 = 11 (thỏa mãn giả thiết)

Ta có: n\(^3\) + 2 = 29

Mà 29 là số nguyên tố

\(\Rightarrow\) n\(^3\) + 2 là số nguyên tố (với n là số nguyên tố)

Answer 2

Thay p thành n hộ mình nhé

Giải

1/ *>p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nghuyên tố)
*>p=3thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nghuyên tố)
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nghuyên tố)
*>p>3
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2)
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3)
mặt khác p>3
=>p^2>9
=>p^2+2>11 (4)
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)
2/ Đặt Q(x)=P(x)-(x+1)
Q(1999)=P(1999)-(1999+1)=2000-2000=0
Q(2000)=P(2000)-(2000+1)=2001-2001=0
=>x-1999,x-2000 là các nghiệm của Q(x)
Đặt Q(x)=(x-1999)(x-2000).g(x)
Do P(x) là đa thức bậc 3 có hệ số x^3 là số nguyên khác 0,-1
=>Q(x) là đa thức bậc 3 có hệ số x^3 là số nguyên khác 0,-1
=>g(x)có dạng ax+b (a thuộc Z,a khác 0,-1)
=>Q(x) =(x-1999)(x-2000).( ax+b)
=>P(x)=(x-1999)(x-2000).( ax+b)+( x+1)
P(2001)=(2001-1999)(2001-2000)
(a.2001+b)+(2001+1)
=2(2001a+b)+2002
=4002a+2b+2002
P(1998)= (1998-1999)(1998-2000)(a.1998+b)
+(1998+1)
=2(a.1998+b)+1999
=3996a+2b+1999
=>P(2001)- P(1998)= 4002a+2b+2002-3996a-2b-1999
=6a+3
=3(a+2)
Do a thuộc Z,a khác -1
=>a+2 thuộc Z,a+2 khác 1
=>3(a+2) chia hết cho 3 , 3(a+2) khác 3
=>3(a+2) là hợp số
=> P(2001) - P(1998) là hợp số