Question

Chứng minh rằng nếu a, b, c và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

Answer 1

Đề bài đầy đủ: Chứng minh rằng nếu \(a,b,c\) và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) là các số hữu tỉ thì \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\) cũng là các số hữu tỉ.

\(-\text{Theo bài ra, t có: }\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=x\text{ với }x\in Q\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{a}=\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(x^2+a-b-c\right)-2x\sqrt{a}=2\sqrt{bc}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+a-b-c\right)+4ax^2-4x\left(x^2+a-b-c\right)\sqrt{a}=4bc\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}=\dfrac{\left(x^2+a-b-c\right)^2+4ax^2-4bc}{4x\left(x^2+a-b-c\right)}\)
\(-\text{Vì }a;b;c;x\in Q\text{ nên }\sqrt{a}\in Q\)

\(-\text{Tương tự, }\left(a;b;c\text{ có vai trò như nhau }\right),\sqrt{b};\sqrt{c}\text{ cũng là số hữu tỉ.}\)