Ta có :
\(x.P\left(x+2\right)-\left(x-3\right).P\left(x-1\right)=0\)
+) Với \(x=0\) \(\Leftrightarrow0.P\left(0+2\right)-\left(0-3\right).P\left(0-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow0.P\left(2\right)+3.P\left(-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3.P\left(-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=-1\) là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)\) \(\left(1\right)\)
+) Với \(x=3\) \(\Leftrightarrow3.P\left(3+2\right)-\left(3-3\right).P\left(3-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3.P\left(5\right)-0.P\left(2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow3.P\left(5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow P\left(5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=5\) là 1 nghiệm của đa thức \(P\left(x\right)\)\(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow P\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm \(\left(đpcm\right)\)
Ta có :
x.P(x+2)−(x−3).P(x−1)=0x.P(x+2)−(x−3).P(x−1)=0
+) Với x=0x=0 ⇔0.P(0+2)−(0−3).P(0−1)=0⇔0.P(0+2)−(0−3).P(0−1)=0
⇔0.P(2)+3.P(−1)=0⇔0.P(2)+3.P(−1)=0
⇔3.P(−1)=0⇔3.P(−1)=0
⇔P(−1)=0⇔P(−1)=0
⇔x=−1⇔x=−1 là 1 nghiệm của đa thức P(x)P(x) (1)(1)
Với x=3x=3 ⇔3.P(3+2)−(3−3).P(3−1)=0⇔3.P(3+2)−(3−3).P(3−1)=0
⇔3.P(5)−0.P(2)=0⇔3.P(5)−0.P(2)=0
⇔3.P(5)=0
⇔3.P(5)=0
p5)=0⇔P(5)=0
x=5⇔x=5 là 1 nghiệm của đa thức P(x)P(x)(2)(2)
Từ (1)+(2)⇔P(x)(1)+(2)⇔P(x) có ít nhất 2 nghiệm (đpcm)