Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: \(\dfrac{1}{2\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Bài 1. Tìm x, y, z biết: \(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\) (trong đó, a + b + c = 3)
Bài 2.
a) Chứng minh rằng: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
b/ Cho S = \(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\). Chứng minh rằng: 18<S<19
Cho n ϵ N*. Chứng minh:
a) \(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)^2}+\dfrac{1}{n^2}< 2\)
b) \(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
a) Chứng minh rằng: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
b/ Cho S =
trong bai :
cho a= \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+....+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}< 1\)
co phan huong dan : \(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
cho minh hoi buoc : \(\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}\) tu dau ra .( giai thich chi tiet)
CMR: Với mọi số nguyên dương n
\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+.....\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
Bài 1: Chứng minh rằng: với \(a>\dfrac{1}{8}\) thì số sau là 1 số nguyên:
\(x=\sqrt[3]{a+\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}+\sqrt[3]{a-\dfrac{a+1}{3}\sqrt{\dfrac{8a-1}{3}}}\)
Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
Tính giá trị biểu thức: \(A=\left(x+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y+\sqrt{1+x^2}\right)\)
Mọi người ơi giúp Mank với, sắp phải nộp rùi :3
Rút gọn:
A = \(\dfrac{4+\sqrt{7}}{3\sqrt{2}+\sqrt{4+\sqrt{7}}}+\dfrac{4-\sqrt{7}}{3\sqrt{2}-\sqrt{4-\sqrt{7}}}\)
B = \(\dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{11}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+\sqrt{11}}}+\dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{11}}{\sqrt{2}-\sqrt{6-\sqrt{11}}}+18\)
C = \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}\)với n thuộc N*
D = \(\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{15}-1\right)\left(7-2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\)
E=\(\dfrac{\left(4+\sqrt{3}\right)}{\sqrt[]{1}+\sqrt{3}}+\dfrac{\left(8+\sqrt{15}\right)}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{2k+\sqrt{k^2-1}}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}}+...+\dfrac{240+\sqrt{14399}}{\sqrt{119}+\sqrt{121}}\)
F = \(\left(\dfrac{2a+1}{a\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}\right)\left(\dfrac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\) với a >= 0 và a khác 1
