Ta chứng minh đẳng thức sau :
Nếu a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
Ta có : a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c
⇒ (a + b)3 = (-c)3 ⇒ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = -c3
⇒ a3 + b3 + c3 = -3a2b - 3ab2 ⇒ a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b)
Thay a + b = -c vào -3ab(a + b) ta được:
-3ab(a + b) = -3ab.(-c)= 3abc
Vậy nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
Quay trở lại với bài toán, ta có:
x + y + z = -3 ⇒ x + 1 + y + 1 + z + 1 = -3 + 1 + 1 + 1
⇒ ( x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = 0
Áp dụng đẳng thức nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc vào bài toán, ta có :
(x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1 ) = 0
⇒ ( x + 1 )3 + (y + 1 )3 + ( z + 1 )3 = 3(x + 1)(y + 1)(z + 1)
⇒ Nếu x + y + z = -3 thì :
(x + 1)3 + ( y + 1 )3 + ( z + 1 )3 = 3(x + 1)( y + 1 )(z + 1)
