Lời giải:
Bổ sung: Xét trong điều kiện $n\in\mathbb{N}$
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $2n+5$ và $4n+12$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+5\vdots d\\ 4n+12\vdots d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(2n+5)\vdots d\\ 4n+12\vdots d\end{matrix}\right.\)
$\Rightarrow 4n+12-2(2n+5)\vdots d$ hay $2\vdots d(*)$
Mặt khác vì $2n+5\vdots d$ mà $2n+5$ lẻ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên $d$ cũng là số lẻ $(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow d=1$
Hay $2n+5$ và $4n+12$ nguyên tố cùng nhau.