Question

Chứng minh biểu thức sau:

Bài 1: \(A=\frac{2x+4\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\left(x\ge0,x\ne1\right)\)

Chứng minh rằng \(A>6\)

Bài 2: \(B=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\left(x>0,x\ne1\right)\)

Chứng minh rằng \(0< B< 2\)

Answer 1

Câu 1:

$P=\dfrac{2x+4\sqrt x+2}{\sqrt x}$ `(đkxđ:` $x>0$)

Xét $P-6=\dfrac{2.x+4.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}-6=\dfrac{2x+4.\sqrt[]x-6.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}$

$=\dfrac{2.x-2.\sqrt[]x+2}{\sqrt[]x}$

$=\dfrac{2.(x-\sqrt[]x+1)}{\sqrt[]x}$

Mà $x-\sqrt[]x+1=(\sqrt[]x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0∀x>0$
$⇒2.(x-\sqrt[]x+1)>0∀x>0$

Mà $\sqrt[]x>0∀x>0$

$⇒\dfrac{2.(x-\sqrt[]x+1)}{\sqrt[]x}>0∀x>0$
hay $P-6>0⇒P>6∀x>0$ (đpcm)

Câu 2:

$P=\dfrac2{x+\sqrt x+1}$ (đkxđ: $x\ge0$)

Ta có $x+\sqrt[]x+1=(\sqrt[]x+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0∀x\ge0$

$⇒P>0∀x\ge0$

Xét $P-2=\dfrac{2}{x+\sqrt[]x+1}-2=\dfrac{2-2.x-2.\sqrt[]x-2}{x+\sqrt[]x+1}=\dfrac{-2(x+\sqrt[]x)}{x+\sqrt[]x+1}$

Mà $x>0⇒\sqrt[]x>0⇒x+\sqrt[]x>0$

$⇒-2(x+\sqrt[]x)<0$

$⇒\dfrac{-2(x+\sqrt[]x)}{x+\sqrt[]x+1}<0$

$⇒P-2<0$

$⇒P<2$

Vậy $0<P<2$