Question

Chứng minh bđt : \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

Answer 1

Xét hiệu : \(\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2\left(a^2+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)}{4}\)

\(=\frac{1}{4}\left(a^2-2ab+b^2\right)=\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\)

Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên \(\frac{1}{4}\left(a-b\right)^2\ge0\) , tức là \(\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge0\)

Vậy \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\) ( đpcm )