Ta có bất đẳng thức tương đương:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{a+c}\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow c^2-\frac{c\left(a^2+b^2\right)}{a+b}+a^2-\frac{a\left(b^2+c^2\right)}{b+c}+b^2-\frac{b\left(a^2+c^2\right)}{a+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ca\left(c-a\right)}{a+b}+\frac{bc\left(c-b\right)}{a+b}+\frac{ab\left(a-b\right)}{b+c}+\frac{ac\left(a-c\right)}{b+c}+\frac{ab\left(b-a\right)}{c+a}+\frac{bc\left(b-c\right)}{c+a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ac\left(c-a\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc\left(c-b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{ab\left(b-a\right)^2}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\ge0\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Buffalo way works! Mặc dù rất xấu:P
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\). Đặt \(a=c+x;b=c+y\rightarrow x,y\ge0\)
Sau khi qui đồng, BĐT của chúng ta qui về:
\(4c^3\left(x^2-xy+y^2\right)+3c^2\left(x+y\right)\left(2x^2-3xy+2y^2\right)+2c\left(x^4+y^4+x^3y+xy^3-3x^2y^2\right)+xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
Dễ thấy: \(x^2-xy+y^2;\left(x+y\right)\left(2x^2-3xy+2y^2\right);xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\forall x,y\ge0\)
Vậy ta chỉ cần chứng minh: \(x^4+y^4+x^3y+xy^3-3x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+3xy+y^2\right)+x^2y^2\ge0\) (hiển nhiên đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c