Đặt A=a5b-ab5 = ab(a4-b4) = ab(a+b)(a-b)(a2+b2) (Với a, b ∈ N)
Dễ chứng minh A⋮2. (*)
-Nếu a hoặc b chia hết cho 3 thì A⋮3 (1)
-Nếu cả a và b đều không chia hết cho 3 thì có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k ∈ N )
+Nếu \(a\equiv b\) (mod 3) thì (a-b)⋮3 (2)
+Nếu a có dạng 3k1+1, b có dạng 3k2+2 (hoặc ngược lại) thì (a+b)⋮3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A luôn chia hết cho 3 ∀a, b ∈ N. (**)
-Nếu a hoặc b chia hết cho 5 thì A⋮5 (4)
-Nếu cả a và b đều không chia hết cho 5 thì chúng có dạng sau: 5m+1; 5m+2; 5m+3; 5m+4 (m ∈ N)
+Nếu \(a\equiv b\) (mod 5) thì (a-b)⋮5 (5)
+Nếu a có dạng 5m1+1, b có dạng 5m2+4 (hoặc ngược lại); hoặc a có dạng 5m1+2, b có dạng 5m2+3(hoặc ngược lại) thì (a+b)⋮5 (6)
+Nếu a và b thuộc các trường hợp còn lại thì (a2+b2)⋮5 (7)
(5m1+1)2+(5m2+2)2 = (25m12+25m22+10m1+20m2+5)⋮5
(5m1+1)2+(5m2+3)2 = (25m12+25m22+10m1+30m2+10)⋮5
(5m1+2)2+(5m2+4)2 = (25m12+25m22+20m1+40m2+20)⋮5
(5m1+3)2+(5m2+4)2 = (25m12+25m22+30m1+40m2+25)⋮5
Từ (4), (5), (6) và (7) suy ra A luôn chia hết cho 5 ∀a, b ∈ N (***)
Theo (*), (**) và (***), vì 2,3,5 là các số nguyên tố cùng nhau nên A⋮(2.3.5) => A⋮30 (đpcm)
(Mình quên mất cách làm ngắn hơn rùi, nhớ mỗi cách làm thủ công thôi :D )