Question

Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn:\(x^2+y^2+z^2=3\).Tìm GTLN P=xy+yz+zx+\(\frac{5}{x+y+z}\)

Answer 1

Ta luôn có:

\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)\(=3\); dấu "=" xảy ra ⇔\(x=y=z\)

\(x\le\frac{x^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(x=1\)

\(y\le\frac{y^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(y=1\)

\(z\le\frac{z^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(z=1\)

Suy ra: \(x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)

Do đó: \(P_{max}=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\le3+\frac{5}{3}=\frac{14}{3}\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=1