Ôn tập cuối năm phần số học

CN

cho x;y;z > 0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=4\)

Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)

HN
4 tháng 5 2017 lúc 9:35

Ta có: \(\dfrac{16}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(2\right)\\\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{4.4}{16}=1\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
CM
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
DT
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
BS
Xem chi tiết
HL
Xem chi tiết
QS
Xem chi tiết
MM
Xem chi tiết
NM
Xem chi tiết