Lời giải:
Do $x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow xyz-2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4(x+y+z)-8+xyz$
Mà $4(x+y+z)-8+xyz=4.3-8+xyz=4+xyz\geq 4$ do $x,y,z\geq 0$
Do đó $2(xy+yz+xz)\geq 4$
Suy ra $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=9-2(xy+yz+xz)\leq 9-4=5$
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0)$ và các hoán vị.
Có nhiều cách!
Cách 2:Giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow3x\ge x+y+z=3\Rightarrow2\ge x\ge1\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+2yz+z^2=x^2+\left(y+z\right)^2\)
\(=x^2+\left(3-x\right)^2=2x^2-6x+9\)
\(=2\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị
Vậy...
Cách 3: Dùng khai triển Abel: Câu hỏi của Thảo Lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (em không chắc lắm nhưng cứ đăng)
