Question

cho tứ giác ABCD có AB=a; BC=b; CD=c; DA=d (a,b,c,d > 0 thỏa \(a^2+b^2+c^2+d^2=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

a) tứ giác ABCD có gì đặc biệt?

b) nếu cho thêm giả thiết AC*BD=ab+cd khi đó tính các góc của ABCD

Answer 1

a)Do a,b,c,d>0

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương:

a²+b²\(\ge\)2ab (Dấu = xảy ra khi a=b)

a²+d²\(\ge\)2ad(Dấu = xảy ra khi a=d)

c²+b²\(\ge\)2bc(Dấu = xảy ra khi c=b)

c²+d²\(\ge\)2cd(Dấu = xảy ra khi c=d)

=>2(a²+b²+c²+d²)\(\ge\)2(ab+ad+bc+cd)

=>a²+b²+c²+d²\(\ge\)a(b+d)+c(b+d)=(a+c)(b+d)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d

Mà tứ giác ABCD có a²+b²+c²+d²=(a+c)(b+d)

=>a=b=c=d =>Tứ giác ABCD là hình thoi

b)Gọi O là giao điểm của AC và BD

=>AC vuông góc với BD tại O

Do ABCD là hình thoi =>AC=2AO BD=2BO

=>AC.BD=4AO.BO

=>4AO.BO=ab+cd

Do a=b=c=d=>4AO.BO=2a²

=>2AO.BO=a²(1)

Áp dụng định lí pytago cho tam giác AOB:

\(AO^2+BO^2=AB^2=a^2\)(2)

Từ 1 và 2 =>AO²+BO²-2AO.BO=0

<=>(AO-BO)²=0

=>AO=BO

=>AC=BD

Hình thoi ABCD có 2 đường chéo bằng nhau

=>ABCD là hình vuông =>số đo các góc của tứ giác ABCD bằng nhau và bằng 90^o