Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Vẽ các D, E sao cho các đường thẳng AB, AC lần lượt là các đường trung trực của các đoạn thẳng DH, EH.
a) chứng minh AD=AE
b)Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với AB, AC. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc MHN
c)Chứng minh Góc DAE = 2 Góc MHB
d)Chứng minh ba đường thẳng AH, BN, CM đồng quy
a) Gọi I và K lần lượt là giao điểm của DH và AB; HE và AC
Xét 2 tam giác vuông ΔAID và ΔAIH ta có:
AI: cạnh chung
DI = HI (GT)
=> ΔAID = ΔAIH (c.g.v - c.g.v)
=> AD = AH (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét 2 tam giác vuông ΔAKH và ΔAKE:
HK = EK (GT)
AK: cạnh chung
=> ΔAKH = ΔAKE (c.g.v - c.g.v)
=> AH = AE (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) => AD = AE
b) AD = AE (cmt)
=> Tam giác ADE cân tại A
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) (3)
Ta có: M ∈ AB
=> M ∈ đường trung trực của DH
=> MD = MH
Xét ΔAMD và ΔAMH ta có:
AD = AH (cmt)
MD = MH (cmt)
AM: cạnh chung
=> ΔAMD = ΔAMH (c - c - c)
\(\Rightarrow\widehat{ADM}=\widehat{AHM}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{ADE}=\widehat{AHM}\) (4)
Ta có: N ∈ đường trung trực của HE
=> HN = EN
Xét ΔAHN và ΔAEN ta có:
HN = EN (cmt)
AH = AE (cmt)
AN: cạnh chung
=> ΔAHN = ΔAEN (c - c - c)
\(\Rightarrow\widehat{AHN}=\widehat{AEN}\) (2 góc tương ứng)
Hay: \(\widehat{AHN}=\widehat{AED}\left(5\right)\)
Từ (3); (4) và (5) \(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\widehat{AHN}\)
Hay: \(\widehat{AHM}=\widehat{AHN}\)
=> AH là phân giác của góc MHN
P/s: Mấy câu còn lại khó quá chưa nghĩ ra!
c)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHM}+\widehat{MHB}=\widehat{AHB}\\\widehat{AHN}+\widehat{NHC}=\widehat{AHC}\end{matrix}\right.\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHM}=\widehat{AHN}\left(cmt\right)\\\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\widehat{MHB}=\widehat{NHC}\)
ΔADE có: \(\widehat{ADE}+\widehat{AED}+\widehat{DAE}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0-\left(\widehat{ADE}+\widehat{AED}\right)\left(7\right)\)
Ta có: \(\widehat{AHM}+\widehat{MHB}+\widehat{AHN}+\widehat{NHC}=180^0\left(=\widehat{AHB}+\widehat{AHC}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MHB}+\widehat{NHC}=180^0-\left(\widehat{AHM}+\widehat{AHN}\right)\left(6\right)\)
Từ (4) ; (5) và (6) \(\Rightarrow\widehat{MHB}+\widehat{NHC}=180^0-\left(\widehat{ADE}+\widehat{AED}\right)\left(8\right)\)
Từ (7) và (8) \(\Rightarrow\widehat{DAE}=\widehat{MHB}+\widehat{NHC}\)
Lại có: \(\widehat{MHB}=\widehat{NHC}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{DAE}=2.\widehat{MHB}\)