cho tam giác có 3 góc nhọn và 3 đường cao AI,BE,CF cắt nhau tại H . vẽ hình bình hành BHCD . đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại M
A/ chứng minh rằng năm điểm A,B,C,D,M cùng thuộc 1 đường tròn
b/ gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . chứng minh rằng BM=CD và góc BAM = góc OAC
c/ gọi K là trung điểm của BC , đường thẳng AK cắt OH tại G . chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác ABC
thankkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
a) Ta có: BHCD là hình bình hành(gt)
nên CH//BD và BH//CD
mà CH\(\perp\)AB(gt) và BH\(\perp\)AC(gt)
nên BD\(\perp\)AB và CD\(\perp\)AC
Suy ra: B,C nằm trên đường tròn đường kính AD(1)
Ta có: MD//BC(gt)
AM\(\perp\)BC(gt)
Do đó: MD\(\perp\)AM(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)
hay M nằm trên đường tròn đường kính AD(2)
Từ (1) và (2) suy ra A,B,C,D,M cùng thuộc 1 đường tròn(Đpcm)
b) Vì BMCD nội tiếp (chứng minh ở câu a) và \(MD\parallel BC\) (đề cho)
\(\Rightarrow BMDC\) là hình thang cân \(\Rightarrow BM=CD\)
c) Vì BHCD là hình bình hành có K là trung điểm BC
\(\Rightarrow\) K là trung điểm HD
Xét \(\Delta ADH\) có O là trung điểm AD (đường kính), K là trung điểm HD
\(\Rightarrow OK\) là đường trung bình \(\Rightarrow OK\parallel AH\) và \(OK=\dfrac{1}{2}AH\)
Vì \(OK\parallel AH\) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{OK}=\dfrac{AG}{GK}=2\Rightarrow AG=2GK\Rightarrow\dfrac{AG}{AK}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC