a) Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB(gt)
F là trung điểm của AC(gt)
Do đó: DF là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DF//BC và \(DF=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
mà E∈BC và \(EC=\dfrac{BC}{2}\)(E là trung điểm của BC)
nên DF//EC và DF=EC
Xét tứ giác DECF có
DF//EC(cmt)
DF=EC(cmt)
Do đó: DECF là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Hình bình hành DECF trở thành hình chữ nhật khi \(\widehat{FCE}=90^0\)
hay \(\widehat{ACB}=90^0\)
Vậy: Khi ΔABC có thêm điều kiện \(\widehat{ACB}=90^0\) thì tứ giác DECF là hình chữ nhật
c) Xét ΔABC có
D là trung điểm của AB(gt)
E là trung điểm của BC(gt)
Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒DE//AC và \(DE=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)
Ta có: ΔAHC vuông tại H(AH⊥BC)
mà HF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(F là trung điểm của AC)
nên \(HF=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)
Từ (1) và (2) suy ra DE=HF
Ta có: DF//BC(cmt)
mà H∈BC(gt)
và E∈BC(E là trung điểm của BC)
nên HE//DF
Xét tứ giác DFEH có
DF//HE(cmt)
nên DFEH là hình thang có hai đáy là DF và HE(Định nghĩa hình thang)
Hình thang DFEH(DF//HE) có DE=HF(cmt)
nên DFEH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)