Cho tam giác ABC(AB<AC) có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung trung AB, AC, BC. a, chứng minh: BMNP là hình bình hành b, Gọi K là điểm đối xứng của H qua M. Chứng minh AKBH là hình chữ nhật c, chứng minh MNPH là hình thang cân. d, gọi O là điểm đối xứng của H qua AB. Chứng minh OK vuông góc với OH
a)
ΔABC có: MA = MB; NA = NC (gt)
⇒ MN là đường trung bình của ΔABC
⇒ MN // BC; MN = \(\dfrac{BC}{2}\)
Ta có: MN // BP (MN//BC); MN = BP ( = \(\dfrac{BC}{2}\) )
⇒ Tứ giác BMNP là hình bình hành (đpcm)
b)
Ta có: MA = MB (gt); MH = MK (K đối xứng với H qua M)
⇒ Tứ giác AKBH là hình bình hành
Mà ∠H = 90°
⇒ Tứ giác AKBH là hình chữ nhật (đpcm)
c)
ΔAHC vuông tại C có: HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
⇒ HN = \(\dfrac{AC}{2}\) (1)
ΔABC có: MA = MB; PC = PB (gt)
⇒ MP là đường trung bình của ΔABC
⇒ MP = \(\dfrac{AC}{2}\) (2)
Từ (1), (2) ⇒ HN = MP
Ta có: MN // HP ( MN//BC)
⇒ Tứ giác MNPH là hình thang
Mà HN = MP (cmt)
⇒ Tứ giác MNPH là hình thang cân (đpcm)
d)
O đối xứng với H qua AB
⇒ AB là đường trung trực của OH
M ∈ AB ⇒ MO = MH ⇒ MO = \(\dfrac{KH}{2}\)
⇒ ΔKOH vuông tại O
⇒ OK ⊥ OH (đpcm)