Kẻ IH là phân giác \(\widehat{BIC}\)
Ta có :
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\) (BD là phân giác góc B) = \(\dfrac{\widehat{B}}{2}\)
\(\widehat{ACE}=\widehat{BCE}\)(CE là phân giác góc C) = \(\dfrac{\widehat{C}}{2}\)
Mà : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
=> \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o-\widehat{A}=120^o\)
=> \(\widehat{CBD}+\widehat{BCE}=\widehat{ABD}+\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)=60^o\)
\(\Delta BIC\) có góc BIC = \(180^o-\left(\widehat{DBC}+\widehat{ECB}\right)=180^o-60^o=120^o\)
=> \(\widehat{BIH}=\widehat{CIH}=60^o\)
\(\widehat{EIB}=\widehat{DIC}=180^o-120^o=60^o=\widehat{BIH}=\widehat{CIH}\) (kề bù)
Xét \(\Delta EIB\) và \(\Delta HIB\)
BI chung
\(\widehat{EIB}=\widehat{BIH}=\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{CBD}\) (gt)
=> \(\Delta EIB\) = \(\Delta HIB\) (g.c.g)
=> EI = IH (2 cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta CIH\) và \(\Delta CID\)
IC chung
\(\widehat{BIH}=\widehat{CIH}\)
\(\widehat{DIC}=\widehat{HIC}\) (cmt)
=> \(\Delta CID\) = \(\Delta CIH\) (g.c.g)
=> ID = IH (2 cạnh tương ứng) (2)
từ (1) và (2) => ID = IE