Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD=MB. Đường thẳng qua B song song với AC cắt tia DC tại N.
a) Chứng minh \(\Delta AMB=\Delta CDM\)
b) Chứng minh AD// BC
c) Chứng minh MC là tia phân giác của \(\stackrel\frown{DMN}\)
d) Gọi I là trung điểm của BN ; K là giao điểm của BC và AN. Chứng minh M, I, K thẳng hàng
Câu a:
Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta CMD\)
+ MB = MD [gt]
+ \(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\left(gt\right)\)
+ MA = MC [M là trung điểm AC]
=> \(\Delta AMB=\Delta CMD\left(c-g-c\right)\)
Câu b:
Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta CMD:\)
+ MB = MD [gt]
\(\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\left(gt\right)\)
+ MA = MC [M là trung điểm AC]
\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta CMB\left(c-g-c\right)\)
=> \(\widehat{CBD}=\widehat{ADB}\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
=> BC // AD
c.
Xét \(\Delta ABC;\Delta NCB\) có :
\(BC\left(chung\right)\\ \widehat{ACB}=\widehat{CBN}\left(slt\right)\\ \Rightarrow\Delta ABC=\Delta NCB\left(ch-gn\right)\\ \Rightarrow AC=BN\)
Xét \(\Delta ACD;\Delta BNC\)có :
\(AD=BC\left(\Delta AMD=\Delta CMB\right)\\ AC=BN\left(cmt\right)\\ \Rightarrow\Delta ACD=\Delta BNC\left(ch-cgv\right)\\ \Rightarrow CN=DC\\ \Rightarrow\Delta MCN=\Delta MCD\\ \Rightarrow\widehat{CMN}=\widehat{CMD}\)
=> MC là tia phân giác góc DMN
d.
Dễ CM :
\(\Delta KAM=\Delta KNI\\ \Rightarrow\widehat{AKM}=\widehat{IKN}\\ \Rightarrow\widehat{AKM}+\widehat{AKI}=\widehat{IKN}+\widehat{AKI}\\ \Rightarrow\widehat{MIK}=180^0\)
=> M; I ; K thẳng hàng