a) Vì BH là tia pg của \(\widehat{ABE}\)
=> \(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{EBH}\)
b) Gọi giao điểm của AE và BH là F
Xét \(\Delta\)ABH vuông tại A và \(\Delta\)EBH vuông tại E có:
BH cạnh chung
\(\widehat{ABH}\) = \(\widehat{EBH}\) (suy từ gt)
=> \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)EBH (ch - gn)
=> AB = EB (2 cạnh t/ư)
Xét \(\Delta\)ABF và \(\Delta\)EBF có:
AB = EB (c/m trên)
\(\widehat{ABF}\) = \(\widehat{EBF}\) (tia pg)
BF chung
=> \(\Delta\)ABF = \(\Delta\)EBF (c.g.c)
=> AF = EF (2 cạnh t/ư)
Do đó F là tđ của AE (1)
và \(\widehat{AFB}\) = \(\widehat{EFB}\) (2 góc t/ư)
mà \(\widehat{AFB}\) + \(\widehat{EFB}\) = 180o
=> \(\widehat{AFB}\) = \(\widehat{EFB}\) = 90o
Do đó BF \(\perp\) AE hay BH \(\perp\)AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH là đg trung trực của AE.
c) Gọi G là giao điểm của BH và IC.
Vì \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)EBH (câu b)
=> AH = EH (2 cạnh t/ư)
Xét \(\Delta\)AHI và \(\Delta\)EHC có:
\(\widehat{IAH}\) = \(\widehat{CEH}\) (= 90o)
AH = EH (c/m trên)
\(\widehat{AHI}\) = \(\widehat{EHC}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta\)AHI = \(\Delta\)EHC (g.c.g)
=> AI = EC (2 cạnh t/ư)
Ta có: AB + AI = BI
EB + EC = BC
mà AB = EB; AI = EC
=> BI = BC.
Xét \(\Delta\)IBG và \(\Delta\)CBG có:
IB = CB (c/m trên)
\(\widehat{IBG}\) = \(\widehat{CBG}\) (tia pg)
BG chung
=> \(\Delta\)IBG = \(\Delta\)CBG (c.g.c)
=> \(\widehat{IGB}\) = \(\widehat{CGB}\) (2 góc t/ư)
mà \(\widehat{IGB}\) + \(\widehat{CGB}\) = 180o (kề bù)
=> \(\widehat{IGB}\) = \(\widehat{CGB}\) = \(\frac{180^o}{2}\) = 90o
Do đó BG \(\perp\) IC hay BH \(\perp\) IC.
Lại có: BI = BC (c/m trên)
=> \(\Delta\)IBC cân tại B.