a) Trong \(\Delta\)ABC vuông tại A có:
BC2 = AB2 + AC2
= 92 + 122
= 225
\(\Rightarrow\) BC = 15 (cm)
Trong \(\Delta\)ABC có AD là p/giác của góc
\(\Rightarrow\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD}{AB}\)
Áp dụng t/chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD+BD}{AC+AB}=\dfrac{BC}{12+9}=\dfrac{15}{21}=\dfrac{5}{7}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{CD}{12}=\dfrac{5}{7}\Rightarrow CD=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\\\dfrac{BD}{9}=\dfrac{5}{7}\Rightarrow BD=\dfrac{45}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp AC\\DE\perp AC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) AB//DE
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{DE}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\) (Hệ quả của định lý ta lét)
\(\Rightarrow\) DE = \(\dfrac{CD.AB}{BC}\)
= \(\dfrac{\dfrac{60}{7}.9}{15}\) = \(\dfrac{36}{7}\) (cm)
b) Từ A kẻ AH \(\perp\) BC ( H\(\in\)BC)
Ta có:
\(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}BD.AH}{\dfrac{1}{2}CD.AH}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{\dfrac{45}{7}}{\dfrac{60}{7}}=\dfrac{3}{4}\)