Câu c của bạn nên đổi thành \(AM\cdot AC=AN\cdot AB\) nhé :)
a) Tính BC và AH :
Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC :
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(8^2+15^2=BC^2\)
\(\Rightarrow BC=17\left(cm\right)\)
Ta có : \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)
\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{8\cdot15}{17}=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\)
b) Có \(\widehat{A}=90^0\)(giả thiết), \(\widehat{M}=90^0\)(hình chiếu), \(\widehat{N}=90^0\)(hình chiếu)
=> Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc bằng 90 độ).
Vì tứ giác AMHN là hình chữ nhật => Hai đường chéo bằng nhau.
\(\Rightarrow MN=AH=\dfrac{120}{17}\left(cm\right)\)
c) Vì N là hình chiếu của H trên AC \(\Rightarrow N\in AC\)
mà \(MH\)//\(AN\left(hcn\right)\) => \(MH\)//\(AC\)
Theo hệ quả của định lý Ta-let => \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)
Suy ra : \(AM\cdot AC=AN\cdot AB\left(đpcm\right)\)