a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)
\(\Leftrightarrow\widehat{C}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{C}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(\widehat{C}=30^0\)(cmt)
mà cạnh đối diện với \(\widehat{C}\) là AB
nên \(AB=\frac{BC}{2}\)(Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 300 bằng một nửa cạnh huyền)
hay \(AB=\frac{10}{2}=5cm\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=BC^2-AB^2=10^2-5^2=75\)
\(\Leftrightarrow AC=\sqrt{75}=5\sqrt{3}cm\)
Vậy: AB=5cm; \(AC=5\sqrt{3}cm\)
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có đường cao AH, ta được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow AH\cdot10=5\cdot5\sqrt{3}=25\sqrt{3}cm\)
hay \(AH=\frac{25\sqrt{3}}{10}=2.5\sqrt{3}cm\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có đường cao HF, ta được:
\(AH^2=AF\cdot AC\)
\(\Leftrightarrow\left(2.5\sqrt{3}\right)^2=AF\cdot5\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow AF\cdot\sqrt{75}=18.75\)
hay \(AF=\frac{18.75}{\sqrt{75}}=\frac{5\sqrt{3}}{4}cm\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHF vuông tại F, ta được:
\(AH^2=AF^2+HF^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2.5\sqrt{3}\right)^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2+HF^2\)
\(\Leftrightarrow HF^2+\frac{75}{16}=\frac{75}{4}\)
\(\Leftrightarrow HF^2=\frac{75}{4}-\frac{75}{16}=\frac{225}{16}cm\)
hay \(HF=\sqrt{\frac{225}{16}}=\frac{15}{4}cm\)
Xét tứ giác AFHE có
\(\widehat{FAE}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), E∈AB, F∈AC)
\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)
\(\widehat{HFA}=90^0\)(HF⊥AC)
Do đó: AFHE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
\(\Leftrightarrow S_{AFHE}=HF\cdot AF\)
\(=\frac{15}{4}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{4}cm^2\)