(Tự vẽ hình)
a) Chứng minh tam giác ABD cân?
Xét tam giác ABD có:
BA=BD(gt)
=> Tam giác ABD cân tại B
b) Chứng minh BE vuông góc AD?
Gọi giao điểm của BE và AD là I
Xét tam giác BAI và tam giác BDI có:
\(BA=BD\left(gt\right)\)
\(\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\) (BI là tia phân giác)
BI: Cạnh chung
Do đó: \(\Delta BAI=\Delta BDI\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{AIB}=\widehat{DIB}\) (2 góc tương ứng)
Ta có:
\(\widehat{AIB}+\widehat{DIB}=180^o\) (2 góc kề bù)
\(hay:\widehat{AIB}+\widehat{AIB}=180^0\\ 2\widehat{AIB}=180^0\\ \widehat{AIB}=90^0\)
\(\Rightarrow BE\perp AD\) tại I
c) Chứng minh tam giác BAE = tam giác BDE và EA = ED?
Xét tam giác BAE và tam giác BDE có:
BE: Cạnh chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{DBE}\) (BE là tia phân giác)
BA=BD (gt)
Do đó: Tam giác BAE=Tam giác BDE (c.g.c)
\(\Rightarrow\) EA=ED
d) Chứng minh EF=EC?
Vì tam giác BAE=Tam giác BDE (theo câu c) nên ta có:
\(\widehat{EAF}=\widehat{EDC}\) ( 2 góc tương ứng)
Xét tam giác EAF và tam giác EDC có:
\(\widehat{EAF}=\widehat{EDC}\) (c/m trên)
\(EA=ED\) (theo câu c)
FA=CD (gt)
Do đó: Tam giác EAF = tam giác EDC (c.g.c)
\(\Rightarrow EF=EC\) (2 cạnh tương ứng)
e) Chứng minh F,E,D thẳng hàng?
Ta có:
BA+AF=BF (A nằm giữa A và F)
BD+DC=BC(D nằm giữa B và C)
Mà: BA=BD (gt)
AF=DC(gt)
Nên: BF=BC
\(\Rightarrow\Delta BFC\) cân
\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{BCF}\) (t/c)
Lại có:
\(\widehat{BFD}+\widehat{DFC}=\widehat{BFC}\) (FD nằm giữa FB và FC)
\(\widehat{BCA}+\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\) (CA nằm giữa CB và CF)
Mà: \(\widehat{BFD}=\widehat{BCA}\left(\Delta EAF=\Delta EDC\right)\) (1)
\(\widehat{BFC}=\widehat{BCF}\) (c/m trên)
\(\Rightarrow\widehat{DFC}=\widehat{ACF}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\widehat{BFD}=\widehat{DFC}\)
\(\Rightarrow\) FD là tia phân giác của góc BFC
Lại có:
\(BE\cap FD=\left\{E\right\}\)
\(\Rightarrow\) E là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác BFC
\(\Rightarrow\) F,E,D thẳng hàng (đpcm)