Question

Cho tam giác ABC vuông ở A. Phân giác BD và CE cắt nhau tại O. Biết SABC = a. Tính BD.CE theo a

Answer 1

Hình vẽ:

Answer 2

Lời giải:

Chuyển $S_{ABC}=x$. Tính $BD.CE$ theo $x$

Đặt $AB=c; BC=a; CA=b$.

Theo tính chất tia phân giác:

$\frac{AD}{DC}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{AD}{b}=\frac{c}{c+a}$

$\Rightarrow AD=\frac{bc}{c+a}$
Tương tự:

$AE=\frac{bc}{a+b}$

Áp dụng định lý Pitago:

$BD^2=c^2+(\frac{bc}{a+c})^2=c^2[1+\frac{b^2}{(a+c)^2}]$

$=c^2.\frac{(a+c)^2+b^2}{(a+c)^2}=c^2.\frac{a^2+b^2+c^2+2ac}{(a+c)^2}$
$=c^2.\frac{2a^2+2ac}{(a+c)^2}=\frac{2ac^2}{a+c}$

Tương tự:

$CE^2=\frac{2ab^2}{a+b}$

Do đó:

$BD^2.CE^2=\frac{4a^2b^2c^2}{(a+c)(a+b)}$

$BD.CE=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}=\frac{4xa}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

Như bạn thấy thì $BD.CE$ không tính được riêng theo $S_{ABC}$ mà vẫn bị ảnh hưởng bởi $AB,AC$