a) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\), ta có:
AB=AC ( gt)
AI chung
IB=IC ( vì I là trung điểm của BC)
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\) ( c-c-c)
\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\) ( 2 góc tương ứng) (đpcm)
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( 2 góc tương ứng) hay AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
b) Ta có: \(\widehat{ACI}+\widehat{ACN}=180^0\) ( kề bù)
\(\widehat{ABI}+\widehat{ABM}=180^0\) (kề bù)
mà \(\widehat{ACI}=\widehat{ABI}\) (cmt) nên\(\widehat{ACN}=\widehat{ABM}\)
Xét \(\Delta ACN\) và \(\Delta ABM\), ta có:
AC=AB (gt)
\(\widehat{ACN}=\widehat{ABM}\) (cmt)
CN=BM (gt)
\(\Rightarrow\Delta ACN=\Delta ABM\) (c-g-c)
\(\Rightarrow AM=AN\) ( 2 cạnh tương ứng)
c) Vì \(\Delta ABI=\Delta ACI\) nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)
mà \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
hay AI vương góc với BC