a) Xét ΔABD và ΔEBD có
BA=BE(gt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))
BD chung
Do đó: ΔABD=ΔEBD(c-g-c)
Suy ra: \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BAD}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
nên \(\widehat{BED}=90^0\)
hay DE\(\perp\)BC(Đpcm)
b) Ta có: ΔBAD=ΔBED(cmt)
nên AD=ED(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔADK vuông tại A và ΔEDC vuông tại E có
DA=DE(cmt)
\(\widehat{ADK}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔADK=ΔEDC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
Suy ra: AK=EC(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: BA+AK=BK(A nằm giữa B và K)
BE+EC=BC(E nằm giữa B và C)
mà BA=BE(cmt)
và AK=EC(cmt)
nên BK=BC
Ta có: ΔADK=ΔEDC(cmt)
nên DK=DC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: M là trung điểm của CK(cmt)
nên MK=MC
Ta có: BK=BC(cmt)
nên B nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: DK=DC(cmt)
nên D nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: CM=KM(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của KC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra B,D,M thẳng hàng(đpcm)