Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho A là trung điểm của EC.
a) Chứng minh ED = BC , ED// BC
b) Tia phân giác của góc EDA cắt AE tại M, tia phân giác của góc ABC cắt AC tại N. C/m tam giác EMD = tam giác CNB
c) Gọi K là trung điểm của MD , H là trung điểm của BN. C/m K,A,H thẳng hàng
a/ Xét t/g ABC và t/g ADE có:
AB = AD (gt)
BAC^ = DAE^ (đối đỉnh)
AC = AE (gt)
=> t/g ABC = t/g ADE (c-g-c)
=> BC = DE (2 cạnh tương ứng)(đpcm)
và ACB^ = AED^ (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này so le trong nên:
=> BC // ED (đpcm)
b/ Vì ABC^ = ADE^ (2 góc tương ứng do t/g ABC = t/g ADE)
mà DM và BN lần lượt là tia p/g của 2 góc
=> CBN^ = EDM^
Xét t/g EMD và t/g CNB có:
ACB^ = AED^ (đã cm)
ED = CB (ý a)
CBN^ = EDM^ (cmt)
=> t/g EMD = t/g CNB (g-c-g)(đpcm)
c/ Ta có: MD = NB (2 cạnh tương ứng do t/g EMD = t/g CNB)
mà K,H là lần lượt là trung điểm của MD và NB => MK = NH(*)
Có: EMD^ + DMA^ = 180o (kề bù)
CNB^ + BNA^ = 180o (kề bù)
mà EMD^ = CNB^ (2 góc tương ứng do t/g EMD = t/g CNB)
=> DMA^ = BNA^ (**)
Lại có: AM + ME = AE
AN + NC = AC
mà ME = NC (2 cạnh tương ứng do t/g EMD = t/g CNB) và AE = AC (gt)
=> AM = AN (***)
Xét t/g AMK và t/g ANH có:
MK = NH (từ (*))
DMA^ = BNA^(từ (**))
AM = AN (từ (***))
=> t/g AMK = t/g ANH (c-g-c)
=> AK = AH(2 cạnh tương ứng)
=> A là trung điểm của KH
=> K,A,H thẳng hàng (định lý)(đpcm)