a) Xét \(\Delta BHM;\Delta CKM\) có :
\(\widehat{BHM}=\widehat{CKM}\left(=90^o-gt\right)\)
\(BM=MC\left(gt\right)\)
\(\widehat{HMB}=\widehat{KMC}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta BHM=\Delta CKM\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> \(\widehat{HBM}=\widehat{KCM}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> \(\text{BH // KC}\left(đpcm\right)\)
Và từ \(\Delta BHM=\Delta CKM\) (cmt)
=> \(BH=CK\) (2 cạnh tương ứng)
b) Xét \(\Delta HMC;\Delta KMB\) có :
\(BM=MC\left(gt\right)\)
\(\widehat{HMC}=\widehat{KMB}\) (đối đỉnh)
\(HM=MK\) (do \(\Delta BHM=\Delta CKM\) -cmt)
=> \(\Delta HMC;\Delta KMB\)
=> \(\Delta HMC=\Delta KMB\) (c.g.c)
=> \(\widehat{HCM}=\widehat{KBM}\) (2 góc tương ứng)
Mà : 2 góc này ở vị trí so le trong
=> \(\text{BK // CH }\left(đpcm\right)\)
Có : \(\Delta HMC=\Delta KMB\) (cmt)
=> \(BK=CH\) (2 cạnh tương ứng)
c) Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}HF=FC\\BE=EK\end{matrix}\right.\) (gt)
Mà : \(BK=HC\left(cmt\right)\)
=> \(HF=FC=BE=EK\)
Xét \(\Delta BEM;\Delta FCM\) có :
\(BM=MC\left(gt\right)\)
\(\widehat{MBE}=\widehat{MCF}\left(slt\right)\)
\(BE=FC\left(cmt\right)\)
=> \(\Delta BEM=\Delta FCM\left(c.g.c\right)\)
=> \(EM=FM\)(2 cạnh tương ứng)
=> M Là trung điểm của EF
Do đó : E, ,M, F thẳng hàng