Vẽ AI, BI, CI cắt các cạnh đối diện thứ tự tại D,E,F.
Ta có công thức đường phân giác như sau:
\( AD^2 = \frac{{bc\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }} \)
Ta có:
\( \begin{array}{l} \frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{BA}}{{BD}} = \frac{{CA}}{{CD}} = \frac{{b + c}}{a} \Leftrightarrow \frac{{IA}}{{AD}} = \frac{{b + c}}{{a + b + c}} \\ \Leftrightarrow IA^2 = AD^2 .\frac{{\left( {b + c} \right)^2 }}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} = \frac{{bc\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{\left( {b + c} \right)^2 }}.\frac{{\left( {b + c} \right)^2 }}{{\left( {a + b + c} \right)^2 }} = \frac{{\left( {b + c - a} \right)bc}}{{a + b + c}} \\ \Leftrightarrow \frac{{IA^2 }}{{bc}} = \frac{{b + c - a}}{{a + b + c}} \\ \end{array} \)
Điều phải chứng minh
b) Từ câu a) ta suy ra được
\(\frac{IA^{^{2}}}{AB.AC}+\frac{IB^{2}}{BA.BC}+\frac{IC^{2}}{CA.CB}=1\)
\(\Leftrightarrow aIA^2+bIB^2+cIC^2=abc\)
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\left(IA+IB+IC\right)^2=\left(\dfrac{\sqrt{a}.IA}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}.IB}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{c}.IC}{\sqrt{c}}\right)^2\)
\(\le\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(aIA^2+bIB^2+cIC^2\right)\)
\(=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)abc=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow IA+IB+IC\le\sqrt{ab+bc+ca}\)
