Xét ΔABD vuông tại D và ΔACE vuông tại E có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAD}\) chung
Do đó: ΔABD=ΔACE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒AD=AE(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AE+EB=AB(E nằm giữa A và B)
AD+DC=AC(D nằm giữa A và C)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và AD=AE(cmt)
nên EB=DC
Ta có: ΔABD=ΔACE(cmt)
nên \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{EBK}=\widehat{DCK}\)
Xét ΔEBK vuông tại E và ΔDCK vuông tại D có
EB=DC(cmt)
\(\widehat{EBK}=\widehat{DCK}\)(cmt)
Do đó: ΔEBK=ΔDCK(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒BK=CK(hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=\widehat{ABM}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BM)
\(\widehat{ACB}+\widehat{MCB}=\widehat{ACM}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CM)
mà \(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\left(=90^0\right)\)
và \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(Hai góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔMBC có \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)(cmt)
nên ΔMBC cân tại M(Định lí đảo của tam giác cân)
⇒MB=MC
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: KB=KC(cmt)
nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: MB=MC(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,K,M thẳng hàng(đpcm)